Hình học nâng cao lớp 8 dành cho học sinh giỏi
Có lời giải
Bài 1 :
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng : $$BH.BD + CH.CE = BC^2$$.
Bài 2 :
Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
So sánh góc BAH và góc CAH.
So sánh đoạn thẳng DB và CE.
Chứng minh hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
Bài 3 : cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy M, N sao cho BM = DN. Gọi I là giao điểm BM và DN. Chứng minh rằng IA là phân giác góc DIB.
Bài 4 :Cho hình thoi ABCD có góc A = . Gọi M là một điểm cạnh AD. Đường thẳng CM cắt AB tại N.
Chứng minh rằng : $$AB^2 = DM.BN$$
MB cắt DN tại P. tính góc DPB.
Bài 5 :
cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc AC tại H. gọi M và K lần lượt là trung điểm AH và CD. Chứng minh rằng : MB vuông góc MK.
Nhận xét : nhìn chung cả 5 bài toán trên đều là những bài toán hay và khó đòi hỏi tư duy logic của các học sinh đặc biệt là 2 câu hình bài 3 và ý thứ 2 bài 4 được IMATH chọn lọc, các bài toán này rất phổ phổ biến trên các web học online tuy nhiên đều không có lời giải khiến các em học sinh lo lắng, vì vậy cá nhân mình (IMATH) sẽ giải 5 bài toán trên cho các bạn, các em học sinh tham khảo .
Bài 1 : Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.Chứng minh rằng : BH.BD + CH.CE = BC2.
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng : $$BH.BD + CH.CE = BC^2$$.
Bài 2 :
Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
So sánh góc BAH và góc CAH.
So sánh đoạn thẳng DB và CE.
Chứng minh hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
Bài 3 : cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy M, N sao cho BM = DN. Gọi I là giao điểm BM và DN. Chứng minh rằng IA là phân giác góc DIB.
Bài 4 :Cho hình thoi ABCD có góc A = . Gọi M là một điểm cạnh AD. Đường thẳng CM cắt AB tại N.
Chứng minh rằng : $$AB^2 = DM.BN$$
MB cắt DN tại P. tính góc DPB.
Bài 5 :
cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc AC tại H. gọi M và K lần lượt là trung điểm AH và CD. Chứng minh rằng : MB vuông góc MK.
Kẻ AF vuông góc với BC ta có : $$\Delta BHF\sim \Delta BCD(g.g)$$
$$\Rightarrow BH.BD=BF.BC$$ $$\Delta CHF\sim \Delta CEB(g.g)$$
$$\Rightarrow CH.CE= CF.CB \Rightarrow BH.BD+CH.CE=BC^2$$
Bài 2 : Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
$$\Rightarrow BH.BD=BF.BC$$ $$\Delta CHF\sim \Delta CEB(g.g)$$
$$\Rightarrow CH.CE= CF.CB \Rightarrow BH.BD+CH.CE=BC^2$$
So sánh góc BAH và góc CAH.
So sánh đoạn thẳng DB và CE.
Chứng minh hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
Với 2 câu so sánh các bạn có thể dễ dàng nhận thấy .
Ta thấy :
$$\Delta ADB\sim \Delta AEC(g.g)$$
$$\Delta ADB\sim \Delta AEC(g.g)$$
$$\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$$
$$\Rightarrow \Delta ADE\sim \Delta ABC(c.g.c)$$
Bài 3 : cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy M, N sao cho BM = DN. Gọi I là giao điểm BM và DN. Chứng minh rằng IA là phân giác góc DIB.
$$\Rightarrow BF=DN=BM\Rightarrow \Delta BFM$$ cân tại B
$$\Rightarrow \angle BFM=\angle BMF=\angle MHI\Rightarrow \Delta MHI$$cân tại I
Áp dụng định lý Menelaus cho $$\Delta BIN$$ với sự thẳng hàng của D,M,C ta có :
$$\frac{DN}{DI}.\frac{MI}{MB}.\frac{CB}{CN}=1$$
Mà DN = MB $$\Rightarrow \frac{MI}{DI}.\frac{BC}{CN}=1\Rightarrow \frac{MI}{DI}=\frac{CN}{BC}=\frac{AF}{AD}$$
$$\Rightarrow \frac{HI}{DI}=\frac{AF}{AD}\Rightarrow FM\parallel AI\Rightarrow \angle DIA=\angle IHM=\angle IMH=\angle AIB$$
Bài 4 : Cho hình thoi ABCD có góc A =
. Gọi M là một điểm cạnh AD. Đường thẳng CM cắt AB tại N.
Chứng minh rằng : $$AB^2 = DM.BN$$
MB cắt DN tại P. tính góc DPB.
Đặt cạnh hình thoi ABCD là a :
Đặt $$\frac{AM}{DM}=k\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{k}{k+1}\Rightarrow AM=\frac{k}{k+1}.a; MD=\frac{1}{k+1}.a$$
$$\Rightarrow \frac{AN}{BN}=\frac{AM}{BC}\Rightarrow \frac{AN}{AN+a}=\frac{k}{k+1}\Rightarrow AN=ak$$
Áp dụng định lý Cos ta có :
$$Cos DBN=Cos60^o=\frac{BD^2+BN^2-DN^2}{2BD.BN}$$
$$BD.BN=BD^2+BN^2-BN^2\Rightarrow a.(a+ak)=a^2+(a+ak)^2-BN^2$$
$$\Rightarrow a^2(k+1)=a^2(k^2+2k+2)-BN^2\Rightarrow BN^2=a^2(k^2+k+1)$$$$\Rightarrow BN=a.\sqrt{k^2+k+1}$$
Ta có : $$\frac{DE}{EB}=\frac{DC}{BN}=\frac{1}{k+1}$$
Áp dụng định lý Ceva ta có :
$$\Rightarrow \frac{PN}{PD}.\frac{DE}{EB}.\frac{BA}{AN}=1\Rightarrow\frac{PN}{PD}.\frac{1}{k+1}.\frac{1}{k}=1$$
$$\Rightarrow \frac{PN}{PD}=k(k+1)\Rightarrow \frac{NP}{ND}=\frac{k^2+k}{k^2+k+1}\Rightarrow NP=\frac{k^2+k}{\sqrt{k^2+k+1}}.a$$
Ta thấy :
$$\frac{NP}{NB}=\frac{k^2+k}{\sqrt{k^2+k+1}}.a.\frac{1}{(k+1)a}=\frac{k}{\sqrt{k^2+k+1}}$$
$$\frac{NA}{ND}=\frac{ak}{a\sqrt{k^2+k+1}}=\frac{k}{\sqrt{k^2+k+1}}$$
$$\Rightarrow \frac{AN}{ND}=\frac{NP}{NB}\Rightarrow \Delta NPB\sim \Delta NAD(c.g.c)\Rightarrow \angle DPB=\angle DAB=60^o$$
Bài 5 :
cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc AC tại H. gọi M và K lần lượt là trung điểm AH và CD. Chứng minh rằng : MB vuông góc MK.
cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc AC tại H. gọi M và K lần lượt là trung điểm AH và CD. Chứng minh rằng : MB vuông góc MK.
Lấy G là trung điểm của AB ta có : GBCK là tứ giác nội tiếp Và GM là đường trung bình của tam giác ABH nên góc GMC = 90 =>MGCK là tứ giác nội tiếp => M,G,B,C,K cùng thuộc một đường tròn => tứ giác BMKC nội tiếp => BMK + KCB = 180 => BMK =90 hay MB vuông góc với MK
